Aký je algoritmus problému priradenia a ako efektívne optimalizuje úlohy na zdroje?

Algoritmus problému s priradením a ako optimalizuje priradenie úloh

Problém priradenia je špeciálny typ problému lineárneho programovania, ktorý sa zaoberá priradením súboru zdrojov (napr. Pracovníci, strojov) k súboru úloh, kde každý zdroj je možné priradiť iba k jednej úlohe a každá úloha môže byť priradená iba jednému zdroju. Cieľom je minimalizovať celkové náklady alebo maximalizovať celkový zisk spojený s úlohami.

Myslite na to takto: Máte tím inštalatérov (zdroje) a zoznam domov, ktoré potrebujú inštalatérske opravy (úloh). Každý inštalatér je dobrý v rôznych typoch opráv a v závislosti od domu by mohol účtovať rôzne sumy. Problém s priradením vám pomôže zistiť najlepší inštalatér pre každý dom, aby sa minimalizovali celkové náklady.

bežné algoritmy na riešenie problému priradenia:

Zatiaľ čo problém s priradením je možné vyriešiť pomocou všeobecných lineárnych programovacích techník, ako je metóda Simplex, zvyčajne sa používajú efektívnejšie a špecializované algoritmy. Najobľúbenejší je maďarský algoritmus .

1. Maďarský algoritmus (známy tiež ako algoritmus Kuhn-Munkres):

Maďarský algoritmus je algoritmus kombinatorickej optimalizácie, ktorý rieši problém priradenia v polynomiálnom čase (O (n^3) pre problém s n x n). Je založená na koncepte Minimálnych porovnávania nákladov v dvojstrannom grafe. Tu je zjednodušený rozdelenie zapojených krokov:

a. Zastúpenie matice nákladov:

* Problém je reprezentovaný ako nákladová matica, kde:

* Riadky predstavujú zdroje (napr. Inštalatéri).

* Stĺpce predstavujú úlohy (napr. Domy).

* Každá bunka (i, j) obsahuje náklady (alebo zisk) priradenia zdroja I k úlohe j.

b. Redukcia riadku:

* Pre každý riadok nájdite najmenší prvok v tomto riadku a odpočítajte ho od všetkých prvkov v tomto riadku. To zaisťuje, že každý riadok má aspoň jednu nulu.

c. Redukcia stĺpca:

* Pre každý stĺpec nájdite najmenší prvok v tomto stĺpci a odpočítajte ho od všetkých prvkov v tomto stĺpci. To zaisťuje, že každý stĺpec má aspoň jednu nulu.

d. Zakryte všetky nuly s minimálnym počtom riadkov:

* Nakreslite minimálny počet vodorovných a zvislých čiar tak, aby pokryli všetky nuly v matici zníženej nákladov.

* Ak sa počet riadkov rovná počtu riadkov (alebo stĺpcov) (n), potom je možné nájsť optimálne priradenie. Prejdite na krok (f).

* Ak je počet riadkov menší ako n, potom aktuálne riešenie nie je optimálne. Prejdite na krok (e).

e. Vylepšiť maticu (ak počet riadkov

* Nájdite najmenší odkrytý prvok (t. J. Prvok, ktorý nie je pokrytý žiadnym riadkom).

* Odpočítajte tento najmenší odkrytý prvok od všetkých odkrytých prvkov.

* Pridajte tento najmenší odkrytý prvok do všetkých prvkov, ktoré sú na križovatke dvoch riadkov.

* Vráťte sa k kroku (D).

f. Optimálne priradenie:

* Akonáhle budete mať nákladovú maticu, kde minimálny počet riadkov na pokrytie všetkých nulov sa rovná počtu riadkov (alebo stĺpcov), nájdete optimálne priradenie.

* Vyhľadajte riadky a stĺpce s jednoduchými nulami. Priraďte zodpovedajúci prostriedok zodpovedajúcej úlohe.

* Odstráňte riadok a stĺpec spojený s priradenou nulou.

* Opakujte proces, kým nie sú priradené všetky zdroje a úlohy.

Príklad (zjednodušený):

Predpokladajme, že máte tri inštalatéri (P1, P2, P3) a tri domy (H1, H2, H3). Matica nákladov je:

| | H1 | H2 | H3 |

| ------ | ------ | ------ | ------ |

| P1 | 10 | 12 | 15 |

| P2 | 8 | 11 | 13 |

| P3 | 9 | 10 | 12 |

Poďme aplikovať maďarský algoritmus (zjednodušený):

1. Redukcia riadku:

| | H1 | H2 | H3 |

| ------ | ------ | ------ | ------ |

| P1 | 0 | 2 | 5 |

| P2 | 0 | 3 | 5 |

| P3 | 0 | 1 | 3 |

2. Redukcia stĺpca:

| | H1 | H2 | H3 |

| ------ | ------ | ------ | ------ |

| P1 | 0 | 1 | 2 |

| P2 | 0 | 2 | 2 |

| P3 | 0 | 0 | 0 |

3. kryt nuly: Všetky nuly môžete zakryť dvoma čiarami (jeden horizontálny na riadku P3 a jeden zvislý stĺpec H1). Od 2 <3 riešenie nie je optimálne.

4. Vylepšte maticu: Najmenší odkrytý prvok je 1.

* Odpočítajte 1 od odkrytých prvkov.

* Pridajte 1 do križovatiek.

| | H1 | H2 | H3 |

| ------ | ------ | ------ | ------ |

| P1 | 0 | 0 | 1 |

| P2 | 0 | 1 | 1 |

| P3 | 1 | 0 | 0 |

5. kryt nuly: Teraz môžete pokryť všetky nuly tromi riadkami. 3 =3, takže riešenie je optimálne.

6. Optimálne priradenie:

* P1 je možné priradiť iba k H2 (jedna nula).

* P2 je možné priradiť iba H1 (jedna nula).

* P3 je možné priradiť iba k H3 (jedna nula).

Preto optimálne priradenie je:P1 -> H2, P2 -> H1, P3 -> H3. Celkové náklady by boli 12 + 8 + 12 =32.

Prečo maďarský algoritmus funguje:základný princíp

Maďarský algoritmus využíva tieto koncepty:

* Pridanie alebo odpočítanie konštanty od riadku alebo stĺpca: Pridanie alebo odpočítanie konštantnej hodnoty od všetkých prvkov v riadku alebo stĺpci nemení optimálne priradenie. Dôvodom je skutočnosť, že relatívne náklady medzi zdrojmi zostávajú rovnaké.

* priradenia nulových nákladov: Cieľom algoritmu je vytvoriť nákladovú maticu, kde optimálne priradenia majú nulové náklady. To znamená, že ste našli najlepšiu kombináciu zdrojov a úloh na základe počiatočnej cenovej matice.

* Königova veta: Táto veta súvisí s minimálnym počtom riadkov potrebných na pokrytie všetkých nulov v matrici s maximálnym počtom nezávislých nulov (nuly tak, že v rovnakom riadku alebo stĺpci nie sú dva). Ak sa počet krycích čiarov rovná veľkosti matice, je možné nájsť maximálnu sadu nezávislých nulov, čo zodpovedá optimálnemu priradeniu.

2. Ďalšie algoritmy a úvahy:

* aukčný algoritmus: Vhodný pre problémy s rozsiahlym priradením.

* Algoritmy toku siete: Problém priradenia možno modelovať ako problém s sieťovým tokom a vyriešiť sa pomocou algoritmov, ako je algoritmus Ford-Fulkerson alebo algoritmus Edmonds-Karp.

Ako problém s priradením optimalizuje efektívnosť:

Algoritmy problémov s priradením optimalizujú priradenie úloh k zdrojom efektívne:

* Minimalizácia nákladov/maximalizácia ziskov: Zistia kombináciu úloh, ktoré vedú k najnižším celkovým nákladom alebo najvyšším celkovým ziskom.

* Zabezpečovanie priradenia jeden na jeden: Každý zdroj je priradený iba k jednej úlohe a každá úloha je priradená iba k jednému zdroju. To zabraňuje preťaženiu zdrojov alebo duplikácie úloh.

* Zohľadnenie individuálnych schopností/nákladov: Matica nákladov odráža konkrétne náklady alebo zisky spojené s každou kombináciou zdrojových úloh. To umožňuje algoritmu zohľadniť rôzne zručnosti a efektívnosť každého zdroja.

* Nájdenie globálne optimálneho riešenia: Algoritmy, ako je maďarský algoritmus, zaručuje nájdenie najlepšieho (optimálneho) priradenia.

Aplikácie problému priradenia:

Problém s priradením má širokú škálu aplikácií v rôznych oblastiach vrátane:

* Operations Research: Optimalizácia prideľovania zdrojov vo výrobe, logistike a preprave.

* Manažment projektov: Pridelenie členov tímu k projektovým úlohám.

* Healthcare: Pridelenie sestier pacientom v nemocnici.

* Šport: Priraďovanie hráčov na pozície v tíme.

* strojové učenie: Zodpovedajúce dátové body pri rozpoznávaní obrazu alebo algoritmoch zhlukovania.

* Transport: Priraďovanie vozidiel k trasám v doručovacích službách.

Stručne povedané, problém s priradením je výkonným nástrojom na optimalizáciu prideľovania úloh v scenároch, v ktorých musia byť zdroje pridelené úlohám individuálne. Algoritmy, ako je maďarský algoritmus, poskytujú efektívne a zaručené optimálne riešenia, čo vedie k významným úsporám nákladov a zlepšeniu účinnosti.